Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Этап 1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{2}{5}$ и $32$ .

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 - 2}{5}$

Этап 3.2.10

Вычтем $2$ из $64$ .

$\frac{62}{5}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{62}{5}$

Десятичная форма:

$12.4$

Форма смешанных чисел:

$12 \frac{2}{5}$

Этап 5