Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} 1 - x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{5} d x + \int_{1}^{5} - x d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - x d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{1}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{1}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x$ в $5$ и в $1$ .

$(5) - 1 - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $1$ .

$5 - 1 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$4 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 - (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 - (\frac{25}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 - \frac{25 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.5

Вычтем $1$ из $25$ .

$4 - \frac{24}{2}$

Этап 5.2.3.6

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$4 - \frac{2 \cdot 12}{2}$

Этап 5.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 - \frac{2 \cdot 12}{2 (1)}$

Этап 5.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 - \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - \frac{12}{1}$

Этап 5.2.3.6.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$4 - 1 \cdot 12$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $12$ .

$4 - 12$

Этап 5.2.3.8

Вычтем $12$ из $4$ .

$- 8$

Этап 6