Математический анализ Примеры

$\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (2 x + 1)) = 1$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1) = 1$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1) = 1$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{3} (2 x \cdot x + x) = 1$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x$ .

$\log_{3} (2 (x \cdot x) + x) = 1$

Этап 1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (2 x^{2} + x) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (2 x^{2} + x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{1} = 2 x^{2} + x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} + x = 3^{1}$ .

$2 x^{2} + x = 3$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + x - 3 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим на $1$ .

$2 x^{2} + 1 x - 3 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x - 1) + 3 (x - 1) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.6

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1) = 1$ истинным.

$x = 1$