Математический анализ Примеры

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 4

Возьмем производную от $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 5.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Этап 6

Возьмем производную от $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Применим правило умножения к $- 2 (x)$ .

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.3.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Этап 7.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Этап 7.3.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Этап 7.3.5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Этап 7.3.6

Добавим $8 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$