Математический анализ Примеры

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $40 h^{5} + 4000000$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ .

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $40$ является константой относительно $p$ , производная $40 h^{5}$ по $p$ равна $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ .

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = p^{5}$ и $g (p) = h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $h$ .

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $h$ .

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d p} [h]$ в виде $h'$ .

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $40$ .

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4000000$ является константой относительно $p$ , производная $4000000$ относительно $p$ равна $0$ .

$200 h^{4} h' + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $200 h^{4} h'$ и $0$ .

$200 h^{4} h'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 p^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

Этап 5

Разделим каждый член $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ на $200 h^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ на $200 h^{4}$ .

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $h^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $h'$ на $1$ .

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Этап 6

Заменим $h'$ на $\frac{d h}{d p}$ .

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$