Математический анализ Примеры

$\int y \ln (y) d y$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (y)$ и $d v = y$ .

$\ln (y) (\frac{1}{2} y^{2}) - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\ln (y) \frac{y^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2

Объединим $\ln (y)$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int y^{2} \frac{1}{y} d y)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y^{2}}{y} d y)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y} d y)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y}{1} d y)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int y d y)$

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int y d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (y)}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{\ln (y)}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} y^{2} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{4} y^{2} + C$

Этап 6.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} + C$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{4} y^{2} + C$