Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ в виде уравнения.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ на $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Этап 3.5.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Этап 3.5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Этап 3.5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Упростим $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ обратной к $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Этап 5.2.3.1.2

Разделим $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Этап 5.2.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Этап 5.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 5.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Этап 5.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Этап 5.3.3.4.4

Разделим $e^{\frac{x}{2}} - 1$ на $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Этап 5.3.4.2

Добавим $e^{\frac{x}{2}}$ и $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Этап 5.3.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{x}{2}$ из степени.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 5.3.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{2}$ на $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ — обратная к $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$