Математический анализ Примеры

$\int x \sin (0.5 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (0.5 x)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - \int - 2 \cos (0.5 x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - (- 2 \int \cos (0.5 x) d x)$

Этап 3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (0.5 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 0.5 x$ . Тогда $d u = 0.5 d x$ , следовательно $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 0.5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $0.5$ на $1$ .

$0.5$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{0.5} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{0.5}$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \frac{\cos (u)}{0.5} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{0.5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.5}$ из-под знака интеграла.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 (\frac{1}{0.5} \int \cos (u) d u)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{0.5}$ и $2$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} \int \cos (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$

Этап 9

Перепишем $x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$ в виде $- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $0.5 x$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (0.5 x) + C$

Этап 11

Разделим $2$ на $0.5$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + 4 \sin (0.5 x) + C$