Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt[3]{x + 5} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt[3]{x + 5}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = x + 5$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{4}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ в виде $\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{3 x}{4}$ и ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{3}{7}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2.5

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 6.2.6

Чтобы записать $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Этап 6.2.7

Объединим $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Этап 6.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Этап 6.2.9

Объединим $u^{\frac{7}{3}}$ и $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Этап 6.2.10

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Этап 6.2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Этап 6.2.12

Умножим $9$ на $- 4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Этап 6.2.13

Вынесем множитель $4$ из $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Этап 6.2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Этап 6.2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Этап 6.2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.16

Чтобы записать $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.17

Объединим $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.19

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Этап 6.2.20

Перепишем $\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ в виде произведения.

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Этап 6.2.21

Умножим $\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Этап 6.2.22

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{28} (21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}) + C$