Математический анализ Примеры

$\frac{d}{(d x) \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Этап 1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Этап 1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x (\int_{0}^{x} 13 t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Этап 3

Поскольку $13$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x (13 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t)}$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{x})}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $x$ и в $0$ .

$\frac{1}{x (13 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $x$ и в $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.4

Добавим $\frac{x^{3}}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x (13 \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.5

Объединим $13$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.2.3.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Этап 7.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Этап 7.2.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})}$

Этап 7.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})}$

Этап 7.2.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{3})}$

Этап 7.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3})}$

Этап 7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Этап 7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Этап 7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{1})}$

Этап 7.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 0)}$

Этап 7.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 0)}$

Этап 7.2.3.13

Добавим $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x (\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Изменим порядок $\frac{13}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 8.1.1.1.2

Изменим порядок $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $x^{3} \frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Этап 8.1.2

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Этап 8.1.3

Перенесем $13$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3}))}$

Этап 8.1.4

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.5

Умножим $x$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{1 + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{2 + 3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.5.4

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Этап 8.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}}$

Этап 8.2

Объединим $x^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}{3}}$

Этап 8.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

Этап 8.4

Умножим $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$ на $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$