Математический анализ Примеры

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \cos (y)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.2.6

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \sin (2 y)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $7$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (y)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 \cos (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Этап 5.2

Вычтем $4 \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

Этап 5.3

Вычтем $5 \cos (y) y'$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $14$ на $1$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Этап 5.4.1.1.3

Умножим $- 2$ на $14$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Этап 5.4.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Этап 5.4.1.2

Изменим порядок множителей в $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ .

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 x y' \sin (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $14 y'$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 28 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.4

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y' \cos (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.1.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ на $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ на $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x \sin (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.3

Перепишем $14$ в виде $- 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 28 \sin^{2} (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \cos (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

Этап 5.5.2.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Этап 5.5.2.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.9.1

Перепишем $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ в виде $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Этап 5.5.2.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Этап 5.5.2.3.9.4

Умножим $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ на $1$ .

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$