Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 5

Поскольку $- 11$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 11$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ и $30 t]_{4}^{7}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ в $7$ и в $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $7$ и в $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.2

Умножим $30$ на $7$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.3

Чтобы записать $210$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.4

Объединим $210$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.6.1

Умножим $210$ на $3$ .

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.6.2

Добавим $343$ и $630$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.8

Умножим $30$ на $4$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.9

Чтобы записать $120$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.10

Объединим $120$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.1

Умножим $120$ на $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.12.2

Добавим $64$ и $360$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.14

Вычтем $424$ из $973$ .

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.15

Сократим общий множитель $549$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $549$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.15.2.4

Разделим $183$ на $1$ .

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.16

Возведем $7$ в степень $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

Этап 9.2.3.17

Возведем $4$ в степень $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

Этап 9.2.3.18

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Этап 9.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Этап 9.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

Этап 9.2.3.18.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

Этап 9.2.3.19

Умножим $- 1$ на $8$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

Этап 9.2.3.20

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 9.2.3.21

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

Этап 9.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

Этап 9.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.23.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

Этап 9.2.3.23.2

Вычтем $16$ из $49$ .

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

Этап 9.2.3.24

Объединим $- 11$ и $\frac{33}{2}$ .

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

Этап 9.2.3.25

Умножим $- 11$ на $33$ .

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

Этап 9.2.3.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (183 - \frac{363}{2})$

Этап 9.2.3.27

Чтобы записать $183$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

Этап 9.2.3.28

Объединим $183$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

Этап 9.2.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

Этап 9.2.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.30.1

Умножим $183$ на $2$ .

$6 \frac{366 - 363}{2}$

Этап 9.2.3.30.2

Вычтем $363$ из $366$ .

$6 (\frac{3}{2})$

Этап 9.2.3.31

Объединим $6$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

Этап 9.2.3.32

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18}{2}$

Этап 9.2.3.33

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.33.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Этап 9.2.3.33.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.33.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Этап 9.2.3.33.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.33.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1}$

Этап 9.2.3.33.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 10