Математический анализ Примеры

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Этап 1

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Этап 5

Пусть $u = 4 x - 2$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{x}{4}$ и $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{16} e^{u}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Этап 10.2.4

Объединим $- \frac{1}{16} e^{u}$ и $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Этап 10.2.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Этап 10.2.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Этап 10.2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Этап 10.2.9

Сократим общий множитель $- 4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Этап 10.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Этап 10.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Этап 10.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.11

Чтобы записать $x e^{4 x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.12

Объединим $x e^{4 x - 2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.14

Перенесем $4$ влево от $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Этап 10.2.15

Перепишем $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ в виде произведения.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Этап 10.2.16

Умножим $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Этап 10.2.17

Умножим $4$ на $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Этап 10.2.18

Объединим $- 7$ и $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Этап 10.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$