Математический анализ Примеры

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 1.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(1 + 3 x)}^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 1 + 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 1 + 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $3$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

Этап 3.2

Объединим $\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ и ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} d u_{1}$

Этап 3.3

Перенесем ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , следовательно $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{3}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- \frac{1}{3}$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 d u_{2}$

Этап 6.3

Объединим $\frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 6.4

Перенесем $3$ влево от ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2})$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 8.1.3

Умножим $\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Этап 8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{2}$

Этап 8.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ в виде $(3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1)$ .

$\int (3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2} + 1) + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.8

Перенесем $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.9

Перенесем $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\int 9 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.11

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.12

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.16

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.17

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.19.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{6 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.19.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.20

Умножим $3$ на $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.21

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.23

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.25

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.26

Умножим $3$ на $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.27

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.29

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.31

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.32

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.33

Умножим ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 9.34

Добавим $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ и $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $9$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 \int {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 14

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Объединим $\frac{3}{8}$ и ${u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ .

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 16.1.2

Объединим $\frac{3}{5}$ и ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ .

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 16.2

Упростим.

$\frac{27 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{27 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 3 x$ .

$\frac{27 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$\frac{27}{8} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}} + \frac{18}{5} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$