Математический анализ Примеры

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 9 t$ . Тогда $d u_{1} = 9 d t$ , следовательно $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 9 t$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9 t$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Этап 3

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Этап 5

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7

Объединим $\sin (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$