Математический анализ Примеры

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\ln (27)$ в виде $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Этап 1.3.2

Развернем $\ln (3^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Этап 1.3.3.2

Разделим $\ln (3)$ на $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $\frac{\ln (216)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Этап 1.5.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (216)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.5.3

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.5.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 1.5.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Этап 1.5.6

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = \ln (6)$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Этап 2.3

Перенесем $3$ влево от $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u}$ в $\ln (6)$ и в $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (6 - 3)$

Этап 5.2.4

Вычтем $3$ из $6$ .

$3 \cdot 3$

Этап 5.2.5

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 6