Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $9 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 4 y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ .

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Этап 1.5

Разделим каждый член $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ на $(x + 2) (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ в виде $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.3

Умножим $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.4.2

Возведем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 1.7.4.3

Возведем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Этап 1.7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Этап 1.7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Этап 1.7.4.6

Перепишем ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ в виде $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в виде ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Этап 1.7.4.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Этап 3.2.4.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Этап 3.2.5

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Этап 3.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Этап 3.5.1.2

Добавим $18 x$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 3.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ на $2 y (x + 2) (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ на $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.2.4.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Этап 3.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Этап 3.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Этап 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Этапы поиска НОК для $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $y^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 4.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 4.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 4.1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 4.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.7

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 4.1.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.9

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.10

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.11

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.12

НОК $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 2)$

Этап 4.1.13

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$y (x + 2) (x - 2)$

Этап 4.2

Каждый член в $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ умножим на $y (x + 2) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ на $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ в числитель.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $y (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Этап 4.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(y x + 2 y) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Объединим противоположные члены в $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $y x \cdot - 2$ и $2 y x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3.1.2

Добавим $- 2 x y$ и $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3.1.3

Добавим $y x \cdot x$ и $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.2.1.1

Перенесем $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Этап 4.2.3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Этап 4.2.3.3.3

Умножим $0$ на $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x y^{2} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x y^{2}$ .

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $9 x$ .

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Этап 4.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Этап 4.3.3

Изменим порядок $- 1 y^{2}$ и $3^{2}$ .

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Этап 4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Этап 4.3.5

Разделим каждый член $x (3 + y) (3 - y) = 0$ на $(3 + y) (3 - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Разделим каждый член $x (3 + y) (3 - y) = 0$ на $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Этап 4.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Сократим общий множитель $3 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Этап 4.3.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель $3 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Этап 4.3.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Этап 4.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Разделим $0$ на $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $(0) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $((0) + 2) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Этап 5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель $0$ и $(0) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Этап 5.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(0 + 1) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Этап 5.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Этап 5.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $0$ на $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Этап 5.2.3.4

Возведем $0 - 1$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Этап 5.2.3.5

Возведем $0 - 1$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Этап 5.2.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Этап 5.2.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Этап 7