Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) + \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Этап 3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ и $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Этап 4.2

Найдем значение $- \cos (x) + \sin (x)$ в $\frac{7 π}{4}$ и в $- \frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.5.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.5.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 5.1.5.4

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Этап 5.1.5.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5.1.5.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.1.7

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.1.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 5.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 5.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 5.1.8.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Этап 5.1.9

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Этап 5.1.9.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 5.4.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Этап 5.5

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$0$