Математический анализ Примеры

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Этап 1.2

Умножим $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Этап 1.2.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Этап 1.3

Перенесем $6$ влево от $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Этап 3

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{4}$ . Тогда $d u = 4 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{1 + u^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Этап 5.2

Перенесем $4$ влево от $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 7.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$