Математический анализ Примеры

$\int 8 y - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 y d y + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int y d y + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - \int \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - (3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - (3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y)$

Этап 6.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $y^{\frac{1}{5}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int {(y^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d y$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d y$

Этап 6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{\frac{- 1}{5}} d y$

Этап 6.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{- \frac{1}{5}} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{5}}$ по $y$ имеет вид $\frac{5}{4} y^{\frac{4}{5}}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{5}{4} y^{\frac{4}{5}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{5}{4}$ и $y^{\frac{4}{5}}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$4 y^{2} - 3 \frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4}$ .

$4 y^{2} + \frac{- 3 (5 y^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

Этап 8.3.2

Умножим $5$ на $- 3$ .

$4 y^{2} + \frac{- 15 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Этап 8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 y^{2} - \frac{15 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$4 y^{2} - \frac{15}{4} y^{\frac{4}{5}} + C$