Математический анализ Примеры

$\int 9 \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Этап 2

Пусть $u = 6 x - 2$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 6 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $6 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Этап 3

Объединим $\csc^{2} (u)$ и $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\csc^{2} (u)}{6} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{6} \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $9$ .

$\frac{9}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 6

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$\frac{3}{2} (- \cot (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{3}{2} (- \cot (u)) + C$

Этап 7.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\cot (u)$ .

$- \frac{3 \cot (u)}{2} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 2$ .

$- \frac{3 \cot (6 x - 2)}{2} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$- \frac{3}{2} \cot (6 x - 2) + C$