Математический анализ Примеры

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

Перепишем $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ в виде $\sqrt[6]{x}$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Этап 2

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $p$ и $- p$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Этап 3

По правилу суммы производная $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Этап 4

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Этап 5

Возьмем производную от $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ по $p$ , используя основную теорему математического анализа.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Этап 6

Возьмем производную от $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ по $p$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $p$ , производная $- p$ по $p$ равна $- \frac{d}{d p} [p]$ .

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$