Математический анализ Примеры

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $x$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Этап 4

Возьмем производную от $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Этап 5

Возьмем производную от $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

Этап 7.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ .

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$