Математический анализ Примеры

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + e^{x}}$ в виде ${(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 2

$\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}} d x$ — первообразная $e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ , поэтому по определению $\frac{d}{d x} [\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}} d x]$ — это $e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x} {(1 + e^{x})}^{\frac{1}{2}}$