Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)} d x d x$

Этап 1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)}$ в $\sec^{2} (3 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x]$

Этап 2

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x$ по $x$ равна $d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$ .

$d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ и $g (x) = x$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Этап 4.2

Умножим $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ на $1$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Этап 5

$\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ — первообразная $\sec^{2} (3 x + 1)$ , поэтому по определению $\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x]$ — это $\sec^{2} (3 x + 1)$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \sec^{2} (3 x + 1))$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int \sec^{2} (3 x + 1) d x + d x \sec^{2} (3 x + 1)$