Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{t \sqrt{2 t}} d t d t$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{t \sqrt{2 t}}$ на $\frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{1}{t \sqrt{2 t}} \cdot \frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}} d t d t]$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{t \sqrt{2 t}}$ на $\frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t \sqrt{2 t} \sqrt{2 t}} d t d t]$

Этап 2.2

Перенесем $\sqrt{2 t}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t (\sqrt{2 t} \sqrt{2 t})} d t d t]$

Этап 2.3

Возведем $\sqrt{2 t}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t ({\sqrt{2 t}}^{1} \sqrt{2 t})} d t d t]$

Этап 2.4

Возведем $\sqrt{2 t}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t ({\sqrt{2 t}}^{1} {\sqrt{2 t}}^{1})} d t d t]$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {\sqrt{2 t}}^{1 + 1}} d t d t]$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {\sqrt{2 t}}^{2}} d t d t]$

Этап 2.7

Перепишем ${\sqrt{2 t}}^{2}$ в виде $2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 t}$ в виде ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t d t]$

Этап 2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t d t]$

Этап 2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} d t d t]$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} d t d t]$

Этап 2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{1}} d t d t]$

Этап 2.7.5

Упростим.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t (2 t)} d t d t]$

Этап 3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t \cdot t \cdot 2} d t d t]$

Этап 3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t^{2} \cdot 2} d t d t]$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $t^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t]$

Этап 5

Поскольку $\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t$ является константой относительно $x$ , производная $\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$