Математический анализ Примеры

$\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Этап 2.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 2.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 2.1.7.4.2

Разделим $(B) (x + 2)$ на $1$ .

$1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Этап 2.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Этап 2.1.7.6

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Этап 2.1.8

Перенесем $- 2 A$ .

$1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 2 A + 2 B$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 2 A + 2 B$

Этап 2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 2 A + 2 B$ на $- B$ .

$1 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим $- 2 (- B) + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Этап 2.3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $2 B$ .

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

Этап 2.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.3.3.2

Разделим каждый член $4 B = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 B = 1$ на $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Этап 2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Этап 2.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Этап 2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{4}$ .

$A = - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{4}$ .

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Этап 2.5.3

Перенесем $4$ влево от $x + 2$ .

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Этап 2.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Этап 2.5.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$4 \int - \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int - \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- \int \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Этап 6

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$4 (- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Этап 9

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 9.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 11

Упростим.

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\ln (| x + 2 |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| x - 2 |)$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4}) + C$

Этап 13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Этап 13.3.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C$