Математический анализ Примеры

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ .

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $7 x^{2} - 9 x + 54$ на $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 9)$ на $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $9$ влево от $A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Этап 1.1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x - 3)$ на $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Этап 1.1.6.5

Развернем $(B x + C) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Этап 1.1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Этап 1.1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Этап 1.1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Этап 1.1.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Этап 1.1.6.6.2

Перенесем $- 3$ влево от $B x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Этап 1.1.6.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $C$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Этап 1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $B$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $9 A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$54 = 9 A - 3 C$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $7 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 7$ .

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $7 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $54 = 9 A - 3 C$ на $7 - B$ .

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.3.2.2.1.2

Умножим $9$ на $7$ .

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.3.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.3.3

Изменим порядок $7$ и $- B$ .

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

Этап 1.3.4

Решим относительно $C$ в $- 9 = - 3 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 B + C = - 9$ .

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Этап 1.3.4.2

Добавим $3 B$ к обеим частям уравнения.

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Этап 1.3.5

Заменим все вхождения $C$ на $- 9 + 3 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $54 = 63 - 9 B - 3 C$ на $- 9 + 3 B$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Упростим $63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.5.2.1.1.2

Умножим $- 3$ на $- 9$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.5.2.1.1.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.5.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.2.1

Добавим $63$ и $27$ .

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.5.2.1.2.2

Вычтем $9 B$ из $- 9 B$ .

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6

Решим относительно $B$ в $54 = - 18 B + 90$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 18 B + 90 = 54$ .

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.2.2

Вычтем $90$ из $54$ .

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.3

Разделим каждый член $- 18 B = - 36$ на $- 18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.1

Разделим каждый член $- 18 B = - 36$ на $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.3.1

Разделим $- 36$ на $- 18$ .

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.7

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = - 9 + 3 B$ на $2$ .

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Упростим $- 9 + 3 (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.7.2.1.2

Добавим $- 9$ и $6$ .

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Этап 1.3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 7$ на $2$ .

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Этап 1.3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1

Упростим $- (2) + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Этап 1.3.7.4.1.2

Добавим $- 2$ и $7$ .

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

Этап 1.3.8

Перечислим все решения.

$A = 5, C = - 3, B = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $x$ .

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x - 3$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x - 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ на две дроби.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = x^{2} + 9$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 9$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 10.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 11.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 13.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 15

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Этап 16

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Этап 17.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $9$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Этап 17.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Этап 18

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Этап 19.2

Упростим.

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Этап 20

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 3$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Этап 20.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 9$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$