Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)}$

Этап 1.1.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.1.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Этап 1.1.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.7.2

Разделим $4 x^{2} - 3 x - 4$ на $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.1.2

Разделим $A ((x - 1) (x + 2))$ на $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.5

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.6.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.6.2

Разделим $(B) (x (x + 2))$ на $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.8

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.9

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.10

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.12

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.12.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.12.2

Разделим $(C) (x (x - 1))$ на $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Этап 1.1.8.13

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.8.14

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.8.15

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Этап 1.1.8.16

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Этап 1.1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Этап 1.1.8.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.2

Перенесем $B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.3

Перенесем $- 2 A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Этап 1.1.9.4

Перенесем $2 x B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Этап 1.1.9.5

Перенесем $A x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = A + B + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = - 2 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $- 4 = - 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 A = - 4$ .

$- 2 A = - 4$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 2 A = - 4$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 A = - 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = A + B + C$ на $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 3 = A + 2 B - 1 C$ на $2$ .

$- 3 = (2) + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $4 = 2 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B + C = 4 - 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 4 - 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Этап 1.3.3.2.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $2 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 3 = 2 + 2 B - C$ на $2 - C$ .

$- 3 = 2 + 2 (2 - C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $2 + 2 (2 - C) - C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 = 2 + 2 \cdot 2 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 3 = 2 + 4 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.2.1

Добавим $2$ и $4$ .

$- 3 = 6 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2.2

Вычтем $C$ из $- 2 C$ .

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5

Решим относительно $C$ в $- 3 = 6 - 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $6 - 3 C = - 3$ .

$6 - 3 C = - 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 3 C = - 3 - 6$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.2.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3

Разделим каждый член $- 3 C = - 9$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Разделим каждый член $- 3 C = - 9$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1

Разделим $- 9$ на $- 3$ .

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 2 - C$ на $3$ .

$B = 2 - (3)$

$C = 3$

$A = 2$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $2 - (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$B = 2 - 3$

$C = 3$

$A = 2$

Этап 1.3.6.2.1.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

Этап 1.3.7

Перечислим все решения.

$B = - 1, C = 3, A = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$2 \ln (| x |) - \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| x + 2 |) + C$