Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

Этап 1

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 2.1.3

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

Этап 2.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель ${(- x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.5.2

Разделим $3 (x - 1)$ на $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Сократим общий множитель ${(- x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.8.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Этап 2.1.8.2

Сократим общий множитель ${(- x + 1)}^{2}$ и $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Вынесем множитель $- x + 1$ из $(B) {(- x + 1)}^{2}$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

Этап 2.1.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.2.1

Умножим на $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.1.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.1.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

Этап 2.1.8.2.2.4

Разделим $B (- x + 1)$ на $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

Этап 2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

Этап 2.1.8.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

Этап 2.1.8.5

Умножим $B$ на $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

Этап 2.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перенесем $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

Этап 2.1.9.2

Изменим порядок $A$ и $- x B$ .

$3 x - 3 = - x B + A + B$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = - 1 B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 3 = A + B$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $B$ в $3 = - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 B = 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 B = 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 3 = A + B$ на $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Этап 2.3.3

Решим относительно $A$ в $- 3 = A - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 3 = - 3$ .

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

Этап 2.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

Этап 2.3.3.2.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

Этап 2.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 0 B = - 3$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$A = 0, B = - 3$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $0$ на ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

Этап 2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

Этап 2.5.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

Этап 2.5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Этап 2.5.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

Этап 2.5.6.4

Умножим $\frac{3}{x - 1}$ на $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Этап 2.5.7

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 4

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Этап 6

Упростим.

$3 \ln (| u |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$