Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 16 - 9 x^{2}$ . Тогда $d u = - 18 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 16 - 9 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $16 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 9 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $16 - 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$0 - 18 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $18 x$ из $0$ .

$- 18 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{18}$ .

$2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Этап 3.3

Перенесем $18$ влево от $\sqrt{u}$ .

$2 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{18}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{18}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{18}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 7.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 7.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{9}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $16 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{2}{9} {(16 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$