Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{9 t} d t$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $10 t^{7}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

Этап 3

Разделим $10 t^{7} + 1$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 t^{7}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 t^{7} + 0$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Этап 3.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

Этап 3.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{9} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{9} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Этап 5

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{6}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{1}{9} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{9} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$