Математический анализ Примеры

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{3} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{3}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $20 x$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4} + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

Этап 1.1.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Этап 1.1.1.3

Сократим выражение $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x (6 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Этап 1.1.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Этап 1.1.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Этап 1.1.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $4 (6 x^{2} + 5)$ на $1$ .

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $6$ на $4$ .

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.7.2

Умножим $4$ на $5$ .

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.1.2

Разделим $A (3 x^{2} + 5)$ на $1$ .

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.5

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.5.1

Сократим общий множитель.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.1.8.5.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

Этап 1.1.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

Этап 1.1.8.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.7.1

Перенесем $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.1.8.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Перенесем $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.1.9.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.1.9.3

Перенесем $5 A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$24 = 3 A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$20 = 5 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $5 A = 20$ .

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Этап 1.3.2.2

Разделим каждый член $5 A = 20$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 A = 20$ на $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Этап 1.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Этап 1.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Этап 1.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.3.1

Разделим $20$ на $5$ .

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $24 = 3 A + B$ на $4$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $24 = 12 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $12 + B = 24$ .

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $12$ из $24$ .

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = 12 A = 4 C = 0$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = 12, A = 4, C = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Этап 1.5.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Этап 5

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

Этап 6

Пусть $u = 3 x^{2} + 5$ . Тогда $d u = 6 x d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 3 x^{2} + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$6 x$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{6}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Этап 7.2

Перенесем $6$ влево от $u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 5$ .

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$