Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5.1.2

Разделим $A (1 + x^{2})$ на $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5.4

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.5.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

Этап 1.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

Этап 1.1.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Перенесем $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.1.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

Этап 1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 1.3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$