Математический анализ Примеры

$\tan (x) \cot (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Этап 4.2.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4.2.5

Умножим $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4.2.6

Разделим дроби.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 4.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Этап 4.2.8

Разделим дроби.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Этап 4.2.9

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Этап 4.2.10

Разделим $1^{2}$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Этап 4.2.11

Единица в любой степени равна единице.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1 \csc (x) \sec (x)$

Этап 4.2.12

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \csc (x) \sec (x)$