Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \ln (4 x)} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (4 x)$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (4 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (4 x)$ .

$\ln (| \ln (4 x) |) + C$