Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{3 \cos (t)}{2}$ положительно.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2.2

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.6

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2

Объединим $3$ и $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{9 \sin (t)}{2}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ на $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ на $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.9

Умножим $2$ на $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 2.2.10

Сократим общий множитель $6$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Этап 2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Этап 2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 2.2.11

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 2.2.11.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Этап 5

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$