Математический анализ Примеры

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Этап 1

Пусть $u = e^{t} - 4$ . Тогда $d u = e^{t} d t$ , следовательно $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = e^{t} - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $e^{t} - 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4$ относительно $t$ равна $0$ .

$e^{t} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $e^{t}$ и $0$ .

$e^{t}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cot (u) d u$

Этап 2

Интеграл $\cot (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$