Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (x^{3})}{8 x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{3})}{8 x}$ в виде $\frac{3 \ln (x)}{8 x}$ .

$\int \frac{3 \ln (x)}{8 x} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{3}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{8} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{3}{8} \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{3}{8} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{3}{8}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8 \cdot 2} u^{2} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{3}{16} u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{3}{16} \ln^{2} (x) + C$