Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (3 x)}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \ln (3 x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (3 x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \ln (3 x) x^{- 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (3 x)$ и $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (3 x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\ln (3 x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.1.2

Умножим $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$

Этап 7

Перепишем $- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$