Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{5}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{5}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Этап 1.1.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Этап 3

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$