Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\csc (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\csc (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Этап 7

Найдем значение $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Этап 8.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Этап 8.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Этап 8.4

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Этап 8.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Этап 8.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Этап 8.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

Этап 8.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 8.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Этап 9.2

$\sqrt{2} - 1$ приблизительно равно $0.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Десятичная форма:

$1.32206038 \dots$