Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (\sin (0) - 1)$

Этап 7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1)$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$