Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{\sin (q)} \cdot \cos (q) d q$

Этап 1

Пусть $u = \sin (q)$ . Тогда $d u = \cos (q) d q$ , следовательно $\frac{1}{\cos (q)} d u = d q$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (q)$ . Найдем $\frac{d u}{d q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (q)$ .

$\frac{d}{d q} [\sin (q)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (q)$ по $q$ равна $\cos (q)$ .

$\cos (q)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $q$ в $u = \sin (q)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $q$ в $u = \sin (q)$ .

$u_{upper} = \sin (π)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{upper} = \sin (0)$

Этап 1.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} e^{u} d u$

Этап 2

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u}]_{1}^{0}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $1$ .

$(e^{0}) - e^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - e^{1}$

Этап 3.2.2

Упростим.

$1 - e$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - e$

Десятичная форма:

$- 1.71828182 \dots$