Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Этап 1.1.4

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Этап 1.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $1$ и в $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Десятичная форма:

$0.44948974 \dots$