Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

Этап 1

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $\ln (| \sin (x) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Этап 2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Этап 2.2.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ приблизительно равно $0.8660254$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ приблизительно равно $0.70710678$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.5

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Десятичная форма:

$0.20273255 \dots$