Математический анализ Примеры

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = \log_{3} (x)$ .

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 3

Производная $\log_{3} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{x \ln (3)}$ и $3^{x}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $3^{x}$ из $- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\ln (3) \log_{3} (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.3

Объединим $\ln (3) \log_{3} (x)$ и $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Возведем $\ln (3)$ в степень $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.5.1.2

Возведем $\ln (3)$ в степень $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.3

Объединим $3^{x}$ и $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.5

Объединим.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.6

Умножим $3^{x}$ на $1$ .

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Этап 5.7

Изменим порядок множителей в $\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ .

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$