Математический анализ Примеры

$\int \frac{\csc (\sqrt{x}) \cot (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 1.4

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 1.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 1.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2 (\csc (u) \cot (u)) d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \csc (u) \cot (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $- \csc (u)$ равна $\csc (u) \cot (u)$ , интеграл $\csc (u) \cot (u)$ равен $- \csc (u)$ .

$2 (- \csc (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$2 (- \csc (u)) + C$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \csc (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \csc (x^{\frac{1}{2}}) + C$