Математический анализ Примеры

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 + 4 x^{2}$ . Тогда $d u = 8 x d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 + 4 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$0 + 8 x$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $8 x$ .

$8 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Этап 3.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$