Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (u + 5) (u - 6) d u$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} u (u - 6) + 5 (u - 6) d u$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 (u - 6) d u$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.4

Изменим порядок $u$ и $- 6$ .

$\int_{0}^{1} u \cdot u - 6 \cdot u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.5

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.6

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} u^{1 + 1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Этап 1.9

Умножим $5$ на $- 6$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u - 30 d u$

Этап 1.10

Добавим $- 6 u$ и $5 u$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - u - 30 d u$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 30 u]_{0}^{1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ и $- 30 u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 30 u]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3} - 30 u$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 30$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Чтобы записать $- 30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Объединим $- 30$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Умножим $- 30$ на $3$ .

$\frac{1 - 90}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7.2

Вычтем $90$ из $1$ .

$\frac{- 89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 30$ на $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 + 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{89}{3} - 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{89}{3} + 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.14

Добавим $- \frac{89}{3}$ и $0$ .

$- \frac{89}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.17

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.18

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.19

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- \frac{89}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3.20

Чтобы записать $- \frac{89}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3.21

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.2.3.22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.22.1

Умножим $\frac{89}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.2.3.22.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.2.3.22.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.3.22.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Этап 8.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 89 \cdot 2 - 3}{6}$

Этап 8.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.24.1

Умножим $- 89$ на $2$ .

$\frac{- 178 - 3}{6}$

Этап 8.2.3.24.2

Вычтем $3$ из $- 178$ .

$\frac{- 181}{6}$

Этап 8.2.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{181}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{181}{6}$

Десятичная форма:

$- 30.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 30 \frac{1}{6}$

Этап 10